Características de las Ecuaciones de Flujo de Carga

Las ecuaciones de flujo de carga poseen una serie de características entre las que se pueden mencionar:

• Las ecuaciones de flujo de potencia son no lineales porque no se pueden obtener relaciones analíticas directas para su solución, siendo necesario utilizar métodos numéricos.
• Las ecuaciones de potencias son de tipo algebraicas, esto es consecuencia de considerar que el sistema de potencia se encuentra operando en condiciones estables de carga.
• La solución de las ecuaciones de flujo de carga debe satisfacer la condición energética del sistema, esto es:

ΣP_gen = ΣP_load + P_losses
ΣQ_gen = ΣQ_load + Q_losses

donde P_gen y Q_gen, son las potencias generadas y P_load y Q_load las potencias de carga.

• Los flujos de potencia en los enlaces (Líneas de transmisión) son función de las tensiones en las barras y del ángulo (δ_j – δ_k) el cual es el ángulo de transmisión y de carga.
• En el estudio de flujo de carga se observan tres (3) clases de variables:

1. Variables no controlables: aquellas que dependen de los usuarios, tales como las potencias de las cargas P_load y Q_load.
2. Variables de Control (independientes): son aquellas que pueden ser sujetas a manipulaciones para el control efectivo y económico del sistema de potencia. Las potencias generadas P_gen y Q_gen son las variables controlables.
3. Variables dependientes: estas son las variables que dependen de las variaciones de la potencia, como lo son los valores de tensión en las partes del sistema de potencia en módulo y ángulo.

Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones No Lineales

Un problema muy común en el estudio de la ingeniería es encontrar un valor de x que satisfaga la ecuación f(x)=0. En la mayoría de los casos f es una función conocida, real de una variable, y f casi siempre es continua, de hecho una o dos veces diferenciables. Dada una función f(x) real, cualquier valor numérico r que satisfaga que f(x=r)=0, recibe el nombre de solución o cero o raíz.

La función f(x) puede ser de cualquier tipo no lineal.

Por ejemplo:

(1) 1 + 4x – 16x² + 3x³ + 4x⁴ = 0
(2) tan(x) = tanh(2x)

La primera es un ejemplo de una ecuación polinomial, la segunda un ejemplo de una ecuación trascendental.

La principal razón para resolver las ecuaciones no lineales por medio de métodos numéricos es que estas ecuaciones carecen de una solución exacta, excepto para muy pocos problemas. La solución analítica de las ecuaciones polinomiales existe hasta cuarto orden, pero no existen soluciones exactas para órdenes superiores.

Por lo tanto las raíces de esas ecuaciones no lineales se obtienen mediante métodos numéricos basados en procesos iterativos.

Los métodos numéricos iterativos, son métodos que realizan la aproximación de un problema a través de una sucesión infinita de aproximaciones que deben converger a un valor único que es la solución del problema.

En general estos métodos consisten en asignar unos valores de arranque a las variables y mediante las ecuaciones iterativas establecer los nuevos valores de las variables (iteración), estas ecuaciones dependen del proceso y el problema y se repite el proceso hasta que las variables se encuentren dentro de un cierto rango específico de error.

Los métodos numéricos iterativos están diseñados para encontrar las raíces son poderosos, aunque cada uno tiene sus propias limitaciones y defectos. Entre los métodos de resolución de ecuaciones no lineales se tienen los métodos de: Bisección, Falsa Posición, Falsa Posición Modificada, Método de Newton, Método de la Secante, Sustitución Sucesiva, Método de Baristow, Método del Descenso más Rápido, etc.

En lo siguiente se presentan los métodos iterativos de mayor divulgación en la resolución de las ecuaciones de flujo de carga, estos métodos son:

• Método de Gauss-Jacobi.
• Método de Gauss-Seidel.
• Método de Newton-Raphson o método del Gradiente.

El método de Gauss-Seidel ha sido ampliamente utilizado por muchos años y resulta muy sencillo de aplicar; mientras que el método de Newton-Raphson aunque es más complejo tiene ciertas ventajas. La velocidad de convergencia de los métodos es de extrema importancia puesto que el costo de tiempo de cálculo, el empleo estos métodos en esquemas para el control automático del sistema de potencia requiere soluciones muy rápidas de los flujos de carga.

Método de Solución para los Estudios de Flujo de Potencia

El método a utilizar para resolver el problema de flujo de potencia depende de las características del sistema, del tamaño del sistema, etc. En general el procedimiento preliminar es igual sin importar el método seleccionado:

• Se procede a numerar todas y cada una de las barras del sistema desde 1 hasta n.
• Se procede a plantear todas las ecuaciones que definen el comportamiento de los flujos de potencia del sistema recordando

(*) Las barras P-Q requieren de dos (2) ecuaciones.
(**) Las barras P-V requieren de una (1) ecuación.
(***) Las barras oscilantes (slack bus) no generan ecuaciones.

Método de Gauss-Jacobi en Estudios de Flujo de Potencia

El método de Gauss-Jacobi, corresponde al método más simple para la resolución de la ecuaciones de flujo de carga,

Barra P-Q

En este tipo de barras, se especifican las potencias activas P y reactiva Q, por lo que para analizar esta barra solo se requiere determinar el módulo y ángulo de la tensión de la barra. Para determinar los voltajes de esta barra se aplica la ecuación genérica:

Método de Gauss-Seidel en Estudios de Flujo de Potencia

Las diferencias en el tipo de datos especificados en cada barra, produce una tremenda complejidad en la solución formal de las ecuaciones de cargas de los sistema de potencia. Aunque no es difícil resolver las ecuaciones de cargas, encontrar una solución exacta es un problema matemático complejo. En general el método para resolver los flujos de carga parte de estimar a partir de de los valores conocidos inicialmente de tensiones de barras y potencias activas y reactivas, las cuales por el método de Gauss-Seidel son mejorados sucesivamente., el cálculo de un nuevo conjunto de voltajes recibe el nombre de iteración. Los procesos iterativos son infinitos por naturaleza, pero pueden ser detenidos cuando los cambios de valores de las tensiones de las barras entre un cálculo y otro son menores que un valor mínimo especificado. Para emplear el método de Gauss-Seidel, se debe tener presente el tipo de barra que se encuentra en el sistema de potencia.

Barra P-Q

En este tipo de barras, se conoce la potencia activa P y reactiva Q totales que se inyectan a la barra. En las barras P-Q, la incógnita es la tensión en módulo y ángulo de la barra, que pueden ser encontrados bajo la siguiente ecuación:

Aplicación de Factores de Aceleración

En algunas ocasiones el número de iteraciones necesarias para un estudio de flujo de carga se reduce considerablemente utilizando los denominados factores de aceleración; donde luego de cada iteración se toma la variable y se acelera.

V_{k acel} = V_k + α(V_k+1 – V_k)

siendo : α el factor de aceleración.

Técnica Iterativa de Gauss – Seidel