EV: Sea E un conj.D elem. A los 1 llamamos vectores y q los representaremos por (vectores) x, y, z… Sea K un cuerpo conmutativo cuyos elem. Llamaremos escalares y q representamos como alfa, beta, gamma… Diremos q E es un ev sobre el cuerpo K, lo q se simboliza por E(K), cdo están definidas 2 operaciones, la interna y la externa, q tienen las siguientes propiedades: I=(conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y exist. D elem. Opuesto), E=(asociación mixta, elemento neutro d la ley externa, distributiva respecto a la suma d vectores, distributiva respecto a la + d escalares). SUBVECT Sea F un subconjunto no vacío de un e.V E(K). Diremos q F es un subesp. De E(K), si a su vez F es un e.V respecto d las leyes d composición d E(K). Sea E(K) un e.V sobre K (cuerpo de escalares) y sea F un subconjunto de E, entonces se dice q F es un subesp. D E(K) si y solo si las leyes d composición definidas en E(K) son cerradas en F. Es decir q, (x+y pertenecen a F, y lamda·x pertenece a F) BASE: Sea E un e.V sobre K y S=(e1,e2…) un conjunto d vect con ei pertenecientes a E.Los vect d S forma base d E si 1. Son LI, y 2. Forman sist generador de E y q expresaremos como Be=(e1,e2…).
DIM: Llamamos dim de un espacio (o subespacio) E al núm d vectores d una cualquiera d sus bases. Se expresa como: DimE=n, DimF=r, con R<=n. COORD VECT BASE Sea E un e.V sobre K y B=(en) una base de E y sea x perteneciente a E. Se llaman coordenadas de un vector x perteneciente a E respecto d la base B a los escalares x1,x2… xi pertenecientes a K tales q: x=x1e1+…=(x1,x2…)B SUMA E Intersección DE SUBESPACIOS: Sea E un ev sobre K y F1 y F2 2 subesp d E. Se definen a partir d ellos 2 nuevos subesp q llamaremos “intersección” y “+” y q se definen: Int→ xpE/xpF1 y xpF2. + → xpE/ x=x1+x2, xipF1, x2pF2. AL: Sea E y F 2 ev sobre K (cuerpo d escalares) y sea f: E→ F una aplicación, entonces se dice q f es una ap si y solo si: F(x+y)=f(x)+f(y), F(Lamdax)=lamda·f(x). NÚCLEO E IMAGEN: Dado el Homomorfismo f:E-F definimos los subesp siguientes: Núcleo de f=Ker(f)–> (xpE/ f(x)=0f. Imagen de F=Im(f) → (ypF/ existe x p E con y=f(x). Siempre se verifica que Dim E=Dim Ker(f) + Dim Img(f).
ESP Afín: Sea V un esp vect sobre R d dim finita. Un conjunto A no vacío es un es afín con espacio vectorial asociado V, si existe una aplicación o/ AxA→ V. (P,Q)→o/(p,Q)=PQ que tiene las sig propiedades: 1. Para todo PQR q perteneece a A tenemos q PR=PQ+QR y 2. Q para cada P perteneciente a A y cada w pert a V, existe un único punto
Q pert a A talq PQ=w. REFERENCIAS EN R Sea (A,V,o/) un esp afín d dim n. Diremos q (p0,p1,p2…) es una referencia afín de A si (p0p1, p0p2,…) es una base de V. Diremos que R=(o;b(e1,e2…)) es una base del esp vect V, ademas O q pertenece a A es el origen de la referencia, tb podemos escribirla como R=(O;B). COORDENADAS DE UN PUNTO P EN UNA REFERENCIA R Sea (A,V,o/) un esp d dim n. Sea R=… Una referencia de A. Sea un punto P q perten a A, se llaman coordenadas del punto P respecto d R a los escalares x1,x2,x3… xi pertenecientes a K, tales que: OP= (x1,x1…)R DEGENERADA:Sy y solo si tiene puntos singulares y se puede expresar como el producto de 2 rectas. Si el rango 2=2 recras distintas, si rango 1=rectas coincidentes.
Cónica: Sea E un esp bidi afín, eucl, ordinario (espacio afín con referencia ortonormal en el q se ha definido un producto escalar usual) Se llama cónica al lugar geom d los puntos q tienen x ecuación….. PTOS CONJ: Se dice q 2 ptos PyQ son conj respecto d una c XAXt si y solo si cda uno d ellos esta en la polar del otro. PTOS SING: Se dice q un pto P es sing respect d una cónica si y solo si para todo Q del esp proyectivo implica PAQt=0.RPOLAR: Se llama r polar d un punto P d la cónica XAXt=0 al conj d puntos conj con dicho punto P. POLO: al único punto conjugado de todos los q la recta. CENTRO: Sea la expresión… es el Polo de la recta impropia. DIAM:rectas q pasan x el centro, y como el centro es el polo d la recta impropia, los diámetros son polares de los puntos impropios. EJES: Son diam conjug y perp. VERT: Puntos que resultan hacer las intersecciones de la cónica con los ejes. ASINT: Rectas tang a la cónica en sus puntos del infinito. TEOR D LA POLARIDAD Dada una cnica XAXt=o y una recta r, las rectas polares d todos los puntos r respecto d la cónica se cortan todas en un punto que es el polo d la recta.
LOS Únicos AUTOV POSIBLES D UNA ISOM F SON 1 O -1. Sean u y v vect perten. A E dos autoval. Entonces: Por ser u y v autov→ (f(u)=k1.U, f(v)=k2.V) Por ser f isometria→ para todos u y v implica q f(u)·f(v)=u·v. Si particularizamos al caso u=V entonces: f(u)·f(u)=u·u→ ku·ku=uu→ k^2·u·u=u·u→ (K^2-1)uu=0 → como u·u no =0 → K^2 -1=0 entonces k^2=1 lo q es lo mismo que k=+ o -1. EN UNA ISOM VERT F, LOS AUTOVECT ASOCIADOS AUTOVALORES DISTINTOS SON SIEMPRE ORTOGONALES. Sean u y v vect perten a E dos autovect. Entonces: Por ser u y v autovect→ (f(u)=k1.U, f(v)=k2.V). Por ser f isometria→ para todos u y v implica q f(u)·f(v)=u·v. Entonces: k1uk2v=uv→ k1k2uv=uv→ k1k2uv-uv=0 → (k1k2-1)uv=0 → Como k1 no =k2 → k1k2=-1 → (k1k2-1)uv=(-1-1)uv=-1uv=0 → uv=o, por lo tanto son ortogonales. Sea E un eae, f,g:E→ E dos aplicaciones lineales. R=(O,B) una referencia ortonormal y A=Mb(f) y B=Mb(g) dos matrices ortogonales. 1) si A y B son isometrias quiere decir q A·B es isometria: Si A es isom→ A·At=I, Si B es isometria→ B·Bt=I. Entonces: (AB)(AB)t=ABBtAt=AIAt=AAt=I. 2) Si A y B son isom indir→ AB es isom indir. Si A es isom ind→ IAI=-1. Si B es isom Ind. IBI=-1. Entonces IABI=IAIIBI=(-1)(-1)=1. 3) El determinante d la isom siempre es q 1 o 1. Si A es isom→ A·At=I. Entonces: IA·AtI=III→ IAIIAtI=III=1→ IAIIAI=1→ IAI^2=1→ IAI=raíz→ IAI=-+1.